ANALYSE DES RÉSULTATS

1) En géométrie, le logiciel permet-il à l'enfant des situations de recherche et de découverte ?

Évaluer les progrès des enfants en géométrie a volontairement été exclu du champ de la recherche, car nous ne souhaitions pas dissocier le travail régulièrement fait en classe du travail fait en informatique. Notons cependant que le maître pense que les élèves ont fait d'énormes progrès dans cette discipline :
« La partie géométrique des tests d'entrée en 6ème a été très bien réussie, alors qu'habituellement elle constituait le point faible de mes élèves. J'ai été invité le 26 octobre par les professeurs de 6ème du lycée J B Say et j'ai pu consulter les évaluations d'entrée en 6^ème de mes anciens élèves. Je peux citer à titre d'exemple les résultats des élèves qui sont en 1996-1997 dans les deux collèges voisins "Jean-Baptiste Say et Jean de La Fontaine" »

Résultats obtenus à l'épreuve « figures géométriques (04 T4) »
des tests nationaux d'évaluation à l'entrée en 6 ^ème

Par contre nous espérions analyser les situations-problèmes que le logiciel pouvait faire surgir et observer les démarches mises en œuvre pour les résoudre. En effet, comme Régine Douady [Douady Régine 84] nous pensons que « …avoir des connaissances en mathématiques c'est être capable d'en provoquer le fonctionnement comme outils explicites adaptés dans des problèmes qui leur donnent leur sens. Ces connaissances interviennent soit pour résoudre des problèmes, soit pour poser des questions à leur propos. Ceci se produit en particulier si les conditions habituelles d'utilisation ne sont pas exactement satisfaites dans le problème posé. En ce cas, avoir des connaissances, c'est aussi pouvoir les adapter, les bricoler pour essayer de répondre tout de même au problème. Autrement dit nous adoptons un point de vue dynamique vis à vis de la connaissance en mathématique. Dans ces conditions, un enseignement est efficace dans la mesure où il donne lieu chez l'élève à des acquisitions, au sens précédent, de connaissances mathématiques. »
Nous allons montrer à travers quelques exemples, comment les enfants se sont posés, en géométrie, des problèmes nouveaux, parfois inattendus, comment ils ont utilisé leurs connaissances et comment ils ont construit de nouveaux outils mathématiques.
a) La recherche du centre de la rotation …

Lorsque la forme est carrée, il est évident pour les enfants que l'action tourne90 est une rotation ayant pour centre le milieu du carré. Pour une forme rectangulaire, il en va tout autrement… Ainsi tout naturellement, les enfants ont été confrontés à un problème épineux. Après de nombreux essais au cours desquels ils dessinent à main levée la figure à la craie sur le ?tableau, ils ont l'idée d'utiliser du papier calque. Ils décalquent soigneusement la figure imprimée et enfoncent une pointe de compas sur le point supposé être le centre de rotation, puis ils font tourner leur calque. Après plusieurs tentatives ils découvrent le point adéquat expérimentalement. Dans leurs cahiers, ils retranscrivent cette solution de la manière suivante :

recherche expérimentale du centre de rotation

b) La recherche du centre de symétrie…

Pour des enfants de cet âge la distinction entre les symétries axiales et les symétries centrales n'est absolument pas évidente. Les tests de début avaient montré de grandes difficultés à ce sujet, d'autant plus que les figures proposées étaient volontairement non figuratives et assez complexes (fiche 8, annexes page 8).
Le logiciel n'a pas prévu les symétries centrales au niveau des menus, mais elles apparaissent naturellement comme composition de deux symétries axiales par rapport à deux axes perpendiculaires. La distinction entre la symétrie centrale et la symétrie axiale se clarifie très nettement, comme le montrent ces phrases prononcées par les enfants du groupe 1C en mai 95 (la composition des groupes est décrite dans les chapitres précédents) . Les axes de symétrie qui sont perpendiculaires, le centre de symétrie sont très nettement perçus et les deux types de symétries sont différenciées.

c) Deux figures symétriques ne sont pas superposables sans quitter le plan

Superposer deux dessins symétriques sans quitter le plan est impossible. Par contre on peut le faire grâce à une rotation de 180° dans l'espace.
Les enfants du groupe 1C ont beaucoup réfléchi à cette question. Pour expliquer et résoudre le problème face à leurs camarades, le jour de la synthèse, ils ont eu l'idée de découper une colombe et de la faire glisser dans le plan du rétroprojecteur. On a beau essayer, les colombes symétriques ne se superposent pas… Chaque élève de la classe peut le constater et même venir tenter sa chance…

Sans quitter le plan en les tournant,
ou en les faisant glisser,
on ne peut pas superposer les deux motifs !

C'est alors qu'ils ont l'idée astucieuse de coller un petit morceau de papier adhésif le long du trait rouge. Tous les enfants peuvent ainsi, par transparence, voir la rotation de 180° dans l'espace sur l'écran du rétroprojecteur. Les enfants sont subjugués et convaincus : le motif transparent, apparaît symétrique après une rotation de 180° dans l'espace.

une rotation de 180° dans l'espace

Les enfants expliquent qu'il faut deux colombes différentes au « carreleur » pour faire son carrelage, alors que sur le rétroprojecteur une seule pourrait suffire, puisque l'on peut la retourner dans l'espace. Cette grande découverte sur la symétrie, qui était probablement en germe dans l'esprit des enfants (ils ont déjà beaucoup joué avec du papier calque), s' ?est clarifiée et surtout a été explicitée. Un pas important a été franchi dans l'acquisition du concept et ce sont les enfants qui ont inventé eux-mêmes la solution…


d) La composition de deux symétries par rapport à des axes parallèles est une translation


Les enfants du groupe 5 en mars 96 ont découvert, en petit groupe, que les motifs impairs se superposaient par translations et que les motifs pairs étaient symétriques.
Ici c'est l'idée que la composition de deux symétries axiales est une translation qui se met en place.

La même translation fait passer de 1 à 3,
de 3 à 5, de 2 à 4, de 4 à 6…

Le vecteur de cette translation est
le double de celui
qui fait passer d'un axe à l'autre.

e) La composition de deux rotations donne une symétrie-point


Rappelons le travail du groupe 10 (18 mars 1996) qui a brisé les effets « trop symétriques » très souvent obtenus. Des symétries-points sont obtenues par la succession d'une translation et de deux rotations de 90°. Ici ce ne sont pas des idées mathématiques qui ont prévalu, mais le souci de l'esthétique… Cette recherche, s'est faite par tâtonnements avec le logiciel. La construction du centre symétrie sera réalisée plus tard en synthèse collective, lorsque le groupe 10 présentera son travail à l'ensemble de la classe.

symétrie-point par rapport à O

f) L'idée d'homothétie…

L'homothétie n'était aucunement prévue par le logiciel, et pourtant les enfants du groupe 3C en juin 95, ont réussi à créer des glaces plus petites en utilisant la propriété « taille des objets ». Il leur a suffi d'associer trois ronds et un triangle de taille « petite » pour fabriquer une « mini-glace ». Les enfants ont parfaitement géré l'idée d'agrandir sans déformer avec l'outil à leur disposition. Bien entendu, il ne s'agit que d'une première approche de la notion, toutes les propriétés de l'homothétie ne sont pas encore mises en évidence.

les enfants associent trois ronds et un triangle « petits »
pour fabriquer une « mini-glace»

g) La mise en œuvre pédagogique a stimulé l'imagination

Le logiciel a été un auxiliaire précieux pour faire surgir des situations de recherche. Remarquons cependant que l'utilisation de l'ordinateur n'a en aucun cas dispensé les élèves d'une manipulation concrète et manuelle : papier, crayon, calque, ciseaux, imprimante et rétroprojecteur ont été absolument indispensables.
Les enfants en situation de recherche, ont enrichi le projet pédagogique qui a priori ne prévoyait ni les symétries-points, ni les homothéties, ni la composition d'une rotation et d'une translation… L'imagination des enfants a souvent dépassé la créativité de l'adulte concepteur du logiciel. A ?insi Gérard Bonnérat déclare : « L'intérêt majeur de ce travail est qu'il laisse une grande place à la créativité et à l'imagination de l'enfant. »
Les interactions entre les enfants sont essentielles : en petit groupe ou en synthèse collective, ils ne cessent de s'interpeller, de se questionner, de s'expliquer et de se corriger les uns-les-autres. Les informations, les critiques, les suggestions sont formulées dans un langage qui est le leur, différent de celui de l'adulte, donc beaucoup mieux adapté à leur niveau de compréhension. Bien sûr, les enfants n'ont pas tout inventé spontanément. Nous étions là, pour poser des questions, les aider à la structuration, et parfois les conseiller et les emmener le plus loin possible.

h) En conclusion

Les enfants à partir de leur réalisation sur l'écran, font des découvertes mathématiques intéressantes et surtout ils sont capables de les analyser et de se construire de nouveaux outils mathématiques. Chemin faisant les enfants « commencent à entrevoir » de nombreuses propriétés des groupes d'isométries. Il va de soi que nous posons des jalons pour le collège et le lycée où ces notions seront approfondies. Elles seront d'autant mieux comprises, qu'elles auront été vécues par les enfants au cours moyen. Les isométries sont présentées de manière dynamique. L'enfant est libéré, grâce à l'ordinateur de la partie fastidieuse du travail : un superbe papier peint peut se fabriquer en quelques minutes, voire en quelques secondes… Bien sûr ce n'était pas notre motivation prioritaire, mais l'esthétique des réalisations a créé ?√jb…Ux+õMxt/javascript"> //